Monte Carlo方法的基本思想

Monte Carlo方法的基本思想

Monte Carlo方法亦称为随机模拟（Random simulation）方法，有时也称作随机抽样(Random Sampling)技术或统计试验(Statistical Testing)方法。它的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。而解的精确度可用估计值的标准误差来表示。

假设所要求的量x是随机变量ξ的数学期望E(ξ),那么近似确定x的方法是对ξ进行N次重复抽样，产生相互独立的ξ值的序列ξ₁，ξ₂，…,ξ_N,并计算其算术平均值：

根据柯尔莫哥罗夫(Komogorov)加强大数定理有

，

因此，当N充分大时，下式

成立的概率等于1，亦即可以用

作为所求量x的估计值。

用Monte Carlo方法求解时，最简单的情况是模拟一个发生概率为p的随机事件A。考虑一个随机变量ξ，若在一次试验中事件A出现，则ξ取值为1；若事件A不出现，则ξ取值为0.令q=1-p，那么随机变量ξ的数学期望E(ξ)=1·p+0·q=p,此即一次试验中事件A出现的概率。ξ的方差E(ξ-E（ξ）)²=p-p²=pq. 假设在N次试验中事件A出现ν次，那么观察频数ν也是一个随机变量，其数学期望E(ν)=Np,方差σ²(ν)=Npq. 令

,表示观察频率，那么按照加强大数定理，当N充分大时，下式

成立的概率等于1. 因此，由上述模型得到的频率

近似地等于所求量p.这就说明了频率收敛于概率，而且可用样本方差

作为理论方差σ²(p)的估计值。

Monte Carlo方法可以解决各种类型的问题，但总的来说，视其是否涉及随机过程的性态和结果，用Monte Carlo方法处理的问题可以分为两类：

第一类是确定性的数学问题。用Monte Carlo方法求解这类问题的方法是，首先建立一个与所求解有关的概率模型，使所求的解就是我们所建立模型的概率分布或数学期望；然后对这个模型进行随机抽样观察，即产生随机变量；最后用其算术平均值作为所求解的近似估计值。计算多重积分、求逆矩阵、解线性代数方程组、解积分方程、解某些偏微分方程边值问题和计算微分算子的特征值等都属于这一类。

第二类是随机性问题。例如中子在介质中的扩散等问题就属于随机性问题，这是因为中子在介质内部不仅受到某些确定性的影响，而且更多的是受到随机性的影响。对于这类问题，虽然有时可表示为多重积分或某些函数方程，并进而可考虑用随机抽样方法求解，然而一般情况下都不采用这种间接模拟方法，而是采用直接模拟方法，即根据实际物理情况的概率法则，用电子计算机进行抽样试验。原子核物理问题、运筹学中的库存问题、随机服务系统中的排队问题、动物的生态竞争和传染病的蔓延等都属于这一类。在应用Monte Carlo方法解决实际问题的过程中，大体上有如下几个内容：

1. 对求解的问题建立简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解恰好是所建立模型的概率分布或数学期望。

2. 根据概率统计模型的特点和计算实践的需要，尽量改进模型，以便减小方差和降低费用，提高计算效率。

3. 建立对随机变量的抽样方法，其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生随机变量的随机抽样方法。

4. 给出获得所求解的统计估计值及其方差或标准误差的方法。

以上一些内容，不仅刻划了Monte Carlo方法的应用特征，而且也指出了Monte Carlo方法研究中的一些基本课题。