案例3--续1
一种产品的售后数据，进行分析后发现，在一个分布上叠加另一个分布。前一个分布称作为产品的主要特性分布，叠加的分布称作为部分产品的主要特性分布。
那我们分析出现上述情况是个例，还是普遍现象。首先我们需要弄明白，常说的分布到底是只什么。
分布是指失效率概率密度函数f(t)，根据f(t)描述的不同曲线，进行归纳得到了不同分布。
那么f(t)是什么呢？
f(t)=ΔNft/(N0*Δt)
ΔNft---Δt时间内失效数量(Nf失效数量)(统计--所指的观测量)
N0-----统计样本总量
Δt---数学理论上Δt-->0，实际使用可以进行规定
统计试验做法：选取一定量的试验样本进行试验，记录每个失效的时间点，试验结束后，根据试验结果选取合适的时间段Δt，把每个时间段的失效数量与总量相除得到Δt时间内的比例。那么以Δt为基础单位的f(t)就是该试验样本的失效概率密度函数。推论---若试验样本无穷大，或者足够大，那么Δt-->0，f(t)为时间连续函数。
那么瞬时失效率函数h(t)是如何定义的呢？
定义为：h(t)=/Δt-->0
R(t)=Ns/N0==》h(t)=ΔNft/(Ns*Δt)Δt-->0
ΔNft---Δt时间内失效数量(Nf失效数量)
Ns-----Δt时间前未失效样本数量
Δt---Δt-->0
我们仔细观察失效概率密度函数和瞬时失效率函数，
f(t)=ΔNft/(N0*Δt)Δt-->0
h(t)=ΔNft/(Ns*Δt)Δt-->0
就会发现h(t)与f(t)相比显得比较多余，于是有人想到了一个办法，在可维修产品上发生失效后，经过维修那么总量不变(Ns=N0)，那么失效数量使用失效次数代替，导出h(t)=Δr/(N*Δt)，再让h(t)=λ，
那么1/λ=(N*Δt)/Δr单位为：台时/次；再看看MTBF，MTBF=(t1+t2+...+tn)/r单位为：时/次；1/λ单位为：台时/次，MTBF单位为：时/次，两者单位不同还是不相等。若我们假设，2台运行时间t，等同于1台运行时间2t，那么N台就从有纲量变为无纲量N，终于MTBF与1/λ相等，单位为：时/次。
所以MTBF=1/λ，经过了一次转换，和一次假设后才成立。
楼主功底扎实！没有全看懂，有机会再慢慢看。
有个观点和楼主商榷：楼主说失效率的概念不好，应该摒弃，应该用F（t）和f（t）。失效率的意思是现在还没坏的，在下一个时间区间坏的概率。我觉得这个失效率反而是工程中实际最关心的指标。以前坏的就坏了，不考虑了，关键是“当下”和“未来”。指数分布的失效率为恒定值，也很好地描述了偶然失效情况下的产品“永远年轻”的特点。
感觉案例1楼主搞的太复杂了，其实用积分公式很容就能得出，只不过λ是随时间变化的，积分也就是2项而已，案例1后面的不知道楼主在说明什么，没怎么看明白
irix2008发表于2014-11-1216:24static/image/common/back.gif
感觉案例1楼主搞的太复杂了，其实用积分公式很容就能得出，只不过λ是随时间变化的，积分也就是2项而已，案...
你可以把你的计算过程贴上来，我们再讨论讨论
ironwand发表于2014-11-1216:09static/image/common/back.gif
楼主功底扎实！没有全看懂，有机会再慢慢看。
有个观点和楼主商榷：楼主说失效率的概念不好，应该摒弃，应...
你可以把失效率函数的定义写出来，我们再讨论讨论。
可能我计算有误，怎么案例1备选答案中一个正确的都没有？
本帖最后由aomareliability于2014-11-1221:14编辑
irix2008发表于2014-11-1218:17static/image/common/back.gif
可能我计算有误，怎么案例1备选答案中一个正确的都没有？
你的计算过程和结果都是对的。
但是为什么会出现误差，这个就是根据案例1，我要讲的东西。
exp(-0.01t)t:0~2的结果与10~12的结果是不一样的。
当λ*t=0.1误差0.48%
当λ*t>0.1误差会集聚增加
若0~10的λ为0.0001,10~12的λ为0.001，按照你的计算方式就会很接近。
根本原因就是：使用10~12分段积分时，默认的前段0~10函数仍是exp(-0.01*t),而前段函数显然不是的，所以计算必然有误差。
使用R(t12)=R(t0~10)*R(t10~12)则没有这个问题
aomareliability发表于2014-11-1217:45static/image/common/back.gif
你可以把失效率函数的定义写出来，我们再讨论讨论。
失效率λ（t）=在t时刻的下一个单位时间内失效的个数/在t时刻还没失效的个数。例如按年算，到了第五年的时候还没坏的有100个，在下一年中失效了10个，那么第五年时的失效率就是0.1。
你说的λ(t)是h(t)，λ(t)描述的是某一时间段的，h(t)描述的是单位时间的
λ(t)不能即描述某一时间段的，又描述单位时间的，这在案例1--续3已经说明了
本帖最后由closure于2014-11-2116:14编辑
首先，我很佩服楼主这种精神，想当年我也如此较真。今天礼拜五，有点空。我来评价一下你的案例，不过我是个懒人，不可能写的像你这么详细，见谅。
案例1：exp(-λ*t)=1-λ*t，当λ*t->0（比较小）时，该式子为exp(-λ*t)的Taylor展开的常数项和一阶项。物理上讲，第一种是对于可修系统的，即失效立即修复，工作到12小时的失效概率（R=1-F）。后一个式子，就是说有可能失效了，到12小时早已经不工作了。所以第一种的失效概率比第二种大一点，通俗讲第一个式子是失效了，立马修复后还有失效的可能。
案例2：开发的水泵，这种东西通常都是用Lognormal或者Weibull分布来做，当然了，严格来说，应该根据失效模式选择分布。指数分布不合适，太保守。Normal分布除了理论上，可靠性实际中更是少用，当然了，不恰当的使用除外。
案例3：谢谢把我的回答作为标准答案。这个你的理解就更差些火候，h(t)/λ(t)才是可靠性更关心的量，而不是f(t)。当然了，对于可修系统，你需要更多的区分h(t)和λ(t)，因为在实际产品中这里有一个瞬时和累计的概念。