我们在工作过程中常常看到这样描叙:u值的90%的置信区间为[θL,θu]、MTBF的95%的置信下限为6753小时。
其中一个常用的概念是:置信区间。这个词包含有什么样的物理意义?我们怎么样去求这一个物理量的置信区间[θ1,θ2]?这是本文要阐述的主要内容。
在理解这个概念之前,需要掌握一定的概率与统计知识。
一、概率的基本知识。
概率的定义以及概率的基本性质这里不作说明,只用一例题对概率的知识作一个回顾。
例:从6双不同颜色的鞋中任意取4只,取到只有一双成对的鞋的概率是多少?
第一种根据古典定义计算。
P(A)=k/n=(A中所含样本点的个数)/(全体样本点的总数)
按照定义,最主要是要找出样本点的数量,通常要用到排列与组合的公式。这里对“分步完成”、“分类完成”、“排列”及“组合”的定义,不作说明;
要强调一点:公式中k与n的计算方式要一致(如果n这个总数是用排列计算出来的,那么k就要用排列的个数)。
解:n的求法;从12只鞋中任意取4只组合:共有12*11*10*9/4*3*2种取法;
k的求法;从12只中取一双和另外2只组合:第一步取1双的取法有6种,第二步在剩下的10只中取两只不同颜色的鞋组合共有10*8/2种;所以k为6*10*8/2
求P(A);运用公式直接求得P(A)=(6*10*8/2)/(12*11*10*9/4*3*2)=16/33
第二种根据统计定义计算。
P(A)=k/n=(事件A发生的次数)/(重复试验次数)
当重复次数不断增加时,P(A)趋于稳定,这个稳定值就是事件A的概率。
解:见本论坛Angelo的解法(完全摘录如下):
从6双不同颜色的鞋里任意取出4只,4只鞋中“恰好只有2只配成一双”的概率=(1-四只鞋都不成对的概率-有两对鞋的概率)
全不成对的概率:
第一只鞋:P1=1
第二只鞋:P2=10/11<不与前面所选鞋成对>
第三只鞋:P3=8/10<不与前面所选鞋成对>
第四只鞋:P4=6/9<不与前面所选鞋成对>
P不成对=P1*P2*P3*P4=16/33
两对鞋的概率:六对鞋任取两对的取法/12只鞋取4只鞋的取法:C6(2)/C12(4)=1/33
P=1-P不成对-P2对=1-16/33-1/33=16/33;
二、分布
对不同的事件A有不同的概率P(A),全体事件Ω发生的概率P(Ω)=1;
也就是说:在不同的事件A上分布着不同的概率,所有事件中每个事件对应的P(A)之和为1。
如果把“不同的事件A”抽象成“一个变量”,那么针对每一个变量A就有一个概率P(A)与之对应,分布就是描述P(A)与A之间的一种对应关系(从函数的定义上讲,对应关系就是函数表达式,不同的分布有不同的表达式)。
若以变量A为x轴、以P(A)为y轴,那么就可以得到相应的图像,不同的分布对应不同的图像,有离散的、有连续的。每个一个具体的x值都有一个相应的y值,图像与x轴围成的面积为1。
常见的分布有几种:二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、对数正态分布等等(这里不列出各种分布的表达);
对一种分布而言,有三个比较重要的特征数:均值、方差与标准差。均值是指表示分布的中心位置、方差用来表示分布的散布大小(将方差开平方后就得到标准差)。
就标准正态分布而言,图像关于y轴对称,y轴(也就是x=0)将“图像与x轴围成的面积”分为相等的二个部分;则可以这样的表达:x=0左边面积为0.5;0是标准正态分布的0.5的分位数;标准正态分布的0.5分位数为0;
同样,某一分布的0.9分位数就是这样一个数:在x轴上的此数处做一垂直于x轴的直线,图像位于直线左侧的面积恰好为0.9,右侧一块面积恰好为0.1。大部份分位数可以查表得到。
再如,查表得,对标准正态分布N(0,1)而言:
A、0.00135的分数位为-3,说明位于x=-3左侧的面积为0.00135;
B、0.99865的分数位为3,说明位于x=3左侧的面积为0.99865;
所以,位于x=-3和x=3之间的面积为0.9973,显然位于x=-3和x=3之外的面积为0.0027。
那么,对非标准正态分布N(u,σ2)而言,如何求其0.975的分位数呢?
先把非标准正态分布“标准化”,对上述分布而言,若令m=(x-u)/σ,而m就属于N(0,1)分布;
再求“标准化”后的N(0,1)的0.975分位数(查表得1.96,所以m=1.96);
接着求出x(因为m=(x-u)/σ=1.96,所以x=1.96σ+u)。
最后要讨论的是,对于任意一个分布,如何求x1、x2(x1<x2),使位于x1和x2之间的面积为指定的大小?以正态分布N(3,4)为例,求指定面积为0.95时的x1、x2;假设“位于x1左侧面积”与“位于x2右侧面积”相等。
第一步:先找面积大小。
因为位于x1、x2之间的面积0.95,而且左右两侧面积相等,所以位于x1左侧的面积为0.025,位于x2左侧的面积为0.975;
第二步:再求“标准化”下的分位数。
对标准正态分布而言0.025的分位数为-1.96,0.975的分位数为1.96;
第三步:最后求x1、x2。
-1.96=(x1-3)/2==>x1=3-1.96*2=-0.921.96=(x2-3)/2==>x2=3+1.96*2=6.92
所以,对N(3,4)而言位于(-0.92,6.92)之间的面积为0.95。
三、统计的基础知识
统计的目的:一是为了找到被研究的总体是什么分布、一是为了找到这个总体的均值、方差(或标准差)。
我们不可能把总体中所有单位量拿来一个一个地研究与分析(有些总体是无穷的),只从总体中取出一定的样本、对样本进行研究与分析,这种用有限的样品来推断总体性质的方法就是统计方法。
因为取样的随机性,导致“每一组取样”后所得到的计算值不全相等;如果更多组的取样,那么样本计算值也不会全相等,只会产生样本计算值的分布,也就是抽样分布。
三大抽样分布(假设每次取样n个,对n个样品的测量值进行计算)。
t分布――求总体均值;“‘样本均值与总体均值的差’与‘样本的标准差’之比”的“根号n”倍,服从自由度为n-1的t分布。―――(3.1)
X2分布――求总体方差;“样本方差的(n-1)倍,除以总体方差”的分布是自由度为n-1的x2分布。――(3.2)
F分布――二个独立正态分布的比较(略)。
四、点估计及区间估计
取了n个样品,进行了一系列的测试,得到n个样品的参数,把样品的数据经过分析、处理后拿来作为全体的参数。这就是(对整体的)点估计。
数据处理时,为了方便快捷的操作,很多时候都是根据经验进行近似处理的。
很多时候,因为取样的随机性,需要对这个点估计值的准确性做出判断,这就需要进行区间估计。
1、点估计――对要计算的具体值进行求解;
例从生产线随机取5个圆形钢球,测试其直径分别为:0.75,0.70,0.65,0.70,0.65。若“全体钢球的直径X”服从正态分布,求X的平均值和标准差。
解X的平均值一般取样本的平均值为:(0.75+0.70+…+0.65)/5=0.69;
X的标准差一般取样本的标准差修偏后得到:
样本的方差为[1/(5-1)]*(0.062+0.012+0.042+0.012+0.042)=0.00175、标准差为0.0418;
X的标准差为:样本的标准差/C4=0.0418/0.940=0.045;
说明:上式中的C4是修偏系数,不同取样时的修偏系数可以查表得到;
2、区间估计――对计算出来的具体值评估其准确性;
点估计仅仅给出参数的一个具体估计值,但是没有给出估计的精度,而区间估计是用一个区间来对未知参数进行估计,区间估计体现了估计的精度。
就上例来说,用5个样品算出X的平均值为0.69mm,那么对下面决定,有多大的可能:
A、全体钢球的X平均值就是0.69mm;――也许只有不到10%的可能;
B、全体钢球的X平均值在[0.65,0.75]内;――也许只有50%的可能;
C、全体钢球的X平均值在[0.60,0.80]内;――也许有90%的可能;
D、全体钢球的X平均值在(0.01,100.00)内;--有100%的可能。
那么,如何从数学上去理解、去计算这个区间和对应的可能性呢?
2.1区间的意义
假设θ值是总体的一个待求参数,取n个样品对θ计算后,得到一个区间[θL,θu]。若对于任意θ,当θL<θ<θu时有P(θL<θ<θu)≥1-a,则称随机区间[θL,θu]是θ的置信水平为1-a的置信区间,简称[θL,θu]是θ的1-a置信区间,θL和θu分别称为θ的1-a的置信下限与置信上限。
可以这样去理解置信区间:经过计算出来的区间[θL,θu],它包含真实θ值的可能性为1-a;
如果你把求区间[θL,θu]的方法从取样开始重复100次,那么会得到100个区间,将有100*(1-a)个区间包含了真实θ值。
2.2区间的计算
为了精确地找到置信区间,有以下几个问题要确认(结合第二小结“分布”中的最后一个例题):
A、置信度为多少?
B、位于置信区间以外的部分如何分配?
C、需要求的物理量属于什么分布?
D、如何“标准化”?
E、此种分布对应的分位数如何求出?
F、计算结果?
还是以“点估计”中5个钢球的直径为例,求全体钢球直径X的平均值的95%的置信区间。
解:A、按题目要求,置信度为95%;
B、因为直径可以偏小、也可以偏大,且这种偏移是随机的,所以在置信区间两边的分布应相等。所以置信下上限对应的面积为0.025和0.975。
C、“X平均值”的统计分布,一般情况属于正态分布(根据中心极限定理得知:“X平均值的统计分布”的方差是“X的分布”的方差n分之一)。因为不知X分布的方差,所以必须以样本的标准差来代替,此时:X平均值的统计分布就属于t分布。
D、标准化方,见(3.1)式;t分布的条件为:“‘样本均值与总体均值的差’与‘样本的标准差’之比”的“根号n”倍;
E、查表得到:当n为5时t分布的0.025及0.975的分位数为:±2.571;
F、所以:[(0.69-x)/0.045]*(51/2)=±2.571,解得:x1=0.638,x2=0.742.
要求的X平均值的95%的置信区间为[0.638,0.742].
按书面上的写法是这样的:要求x平均值的1-a置信区间,利用t分布计算后得到:
x±t(1-a/2)(n-1)*s/n’
其中:t(1-a/2)(n-1)是自由度为n-1的t分布的1-a/2分位数;
s是样本的标准差;
n’是n的正平方根;
五、说明
本文都是以正态分布为例,而可靠性计算中多出现指数分布,虽然分布形式不一样,但对置信区间的理解与计算步骤是一样的。
最主要的是在实际运用过程中,已经有可以直接套用的公式,没有必要去具体地分析是什么分布、用什么去“标准化”,如:
在一次可靠性测定试验中,某种产品作累积T小时(T为3万小时)的定时截尾试验,共出现r次(r=5次)故障,求MTBF在置信度为b(b=95%)时的置信下限θL。
按照给定的计算公式:θL=θ*2r/X2b(2r+2),其中:θ是MTBF的点估计值、X2b(2r+2)是自由度为2r+2的X平方分布b分位数;计算后得到:θ=30000/5=6000Hrs,所以:
θL=6000*2*5/21.026=2853.6Hrs. |